Будущий певец и артист родился в семье военного летчика, участника Великой Отечественной войны и преподавателя физкультуры Николая Буйнова и пианистки Клавдии Косовой. Музыкой начал заниматься в пять лет, когда поступил в музыкальную школу по классу фортепиано. Позже он перешел в Академическое училище при государственной консерватории им. П.И. Чайковского.
Однако классическим музыкантом не стал. Дебютировал в качестве клавишника в созданной Александром Градским группе "Скоморохи", где также заявил о себе как композитор. В 1968 году ушел в армию, служил в ракетных войсках в городе Алейске Алтайского края, а после увольнения проучился в училище им. Гнесиных на дирижерско-хоровом отделении. При этом параллельно играл в группе "Аракс", а позже присоединился к ансамблю "Цветы".
С 1973 по май 1989 года стал выступать в роли клавишника ансамбля "Веселые ребята", и в составе группы записал много популярных песен. Коллектив выпустил альбомы "Любовь – огромная страна", "Дружить нам надо", "Музыкальный глобус", "Дискоклуб-2", "Минуточку", "Банановые острова". Группа была настолько популярна, что выступала не только в СССР, но и давала концерты в Германии, Чехии, Словакии, Венгрии, Финляндии, на Кубе. Принимал участие в фестивале поп-музыки "Ереван-1981", в международном конкурсе "Братиславская лира" (1985) (Гран-при).
В мае 1989 года начал сольную карьеру и стал вокалистом Московского концертного объединения "Эра". А в 1993 году создал собственную группу "Чао".
Уже будучи известным певцом, в 1992 году окончил режиссерский факультет ГИТИСа. Его дипломной работой стал сольный концерт "Капитан Каталкин".
1990-е годы стали кульминацией карьеры. С большим успехом прошли сольные программы на ведущих площадках страны, а в 1996 году Буйнов участвовал в концертном турне в поддержку Б.Н. Ельцина. Продолжилась его карьера и в качестве артиста. В 1998 году Буйнов озвучил на русском языке роль Распутина в голливудском полнометражном фильме "Анастасия". В 1999 году участвовал в телепроекте "Старые песни о главном – 3". Сыграл полковника милиции в фильме "Хорошие и плохие".
Актер женат третий раз. Его супруга Алена является врачом-косметологом, работала в Институте красоты, продюсер. По словам Буйнова, она самая желанная женщина в его жизни, однако в этом браке детей нет. Но у него есть дочь Юлия и сын Алексей.
Народный артист Ингушетии (2004). Народный артист республики Северная Осетия — Алания. Неоднократный лауреат фестиваля "Песня года". Его наиболее известные песни: "Две жизни", "Танцуй, как Петя", "Падают листья", "Пустой бамбук", "Горький мед", "Пусть", "Эй, друг", "Любовь на двоих", "ВДВ — С неба привет", "Капитан Каталкин", "Мои финансы поют романсы", "В Париже ночь" и многие другие. В 2019 году стал лауреатом премии "Шансон года" за песню "Утонувшее небо". По мнению участника группы "Машина времени" Евгения Маргулиса, Александр Буйнов самый "попсовый" среди рокеров и самый рок-н-ролльный среди российских эстрадных исполнителей.
