Барышников родился в Риге и заниматься балетом начал в Рижском хореографическом училище у педагогов Юриса Капралиса и Валентина Блинова. Свое образование он продолжил в Ленинградском хореографическом училище им. Ваганова. В 1974 году во время гастролей Барышников остался в Канаде, после чего эмигрировал в США и получил там гражданство. Латвийские законы допускают двойное гражданство с США.
